ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НА МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА



ОБОРУДОВАНИЕ: маятник Обербека, набор грузов, секундомер, масштабная линейка, штангенциркуль, технические весы.

Вращение твердого тела постоянной массы вокруг неподвижной оси описывается законом вращательного движения:

(1)

Т.е. угловое ускорение e прямо пропорционально моменту силы М относительно оси вращения и обратно пропорционально моменту инерции тела J относительно той же оси.

Моментом силы (или вращающим моментом) М называется произведение действующей силы F на кратчайшее расстояние l между осью вращения и направлением линии действия силы, т.е.

(2)

где l- радиус-вектор точки приложения силы.

Момент инерции тела J является физической величиной, характеризующей инертность тела к изменению угловой скорости под действием вращающего момента.

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется произведение ее массы m на квадрат ее расстояния r до этой оси:

(3)

Момент инерции тела относительно оси вращения равен сумме моментов инерции всех точек относительно той же оси:

(4)

Из формулы (4) видно, что момент инерции тела J относительно оси вращения зависит от распределения ее массы относительно данной оси.

Из основного закона вращательного движения (1) следует, что при постоянном моменте инерции J1 = J2 угловые ускорения e 1 и e  2 пропорциональны действующим на тело моментам сил М1 = М2, т. е.

(5)

а при постоянном моменте сил 1 = М2) угловые ускорения e 1 и e 2 обратно пропорциональны моментам инерции J1 и J2, т. е.

(6)
Рис.1

В данной работе изучается вращательное движение твердого тела на специальном приборе, называемом маятником Обербека (рис. 1).

Основной частью маятника Обербека является крестообразный маховик 1, закрепленный на горизонтальной оси 2. На спицы крестовины насажены одинаковые по размерам и массе цилиндры 3, положение которых можно менять. Когда цилиндры расположены на равных расстояниях от оси вращения, маховик находится в безразличном равновесии. На одной оси с маховиком находится шкив 4 с намотанной на него нитью 5. К концу нити привязан груз Р.

Если намотать нить на шкив, предоставить маховик самому себе, то под действием груза нить, разматываясь, приводит маховик в равноускоренное вращение с угловым ускорением e . Измеряя секундомером время падения груза t с высоты h, можно определить ускорение падения а, пользуясь уравнением пути равноускоренного движения без начальной скорости

(7)

Если нить нерастяжима и при падении груза сматывается со шкива без скольжения, то ускорение точек, лежащих на поверхности шкива, равно ускорению падения груза Р. Тогда, измерив радиус шкива R и использовав связь между линейным и угловым ускорением, можно определить угловое ускорение:

(8)

Вращающий момент создается силой натяжения нити Т, которая приложена по касательной к шкиву. Плечом силы Т является радиус R шкива. Следовательно,

(9)

Сила натяжения вызвана действием груза Р. При условии невесомости нити натяжение остается постоянным вдоль всей нити.

Чтобы найти силу Т, применим второй закон Ньютона. При падении груза Р с ускорением а на него действуют две силы: сила веса этого груза и натяжение нити Т, т.е. отсюда:

(10)

Если подставить это в (9), получим расчетную формулу для вращающего момента силы:

(11)

Чтобы получить расчетную формулу для момента инерции, произведем подстановку (8) и (11) в (1)

(12)

Это и есть расчетная формула, позволяющая по измеренным Р, R, h, t найти момент инерции маятника Обербека.

Заметим, что формулу (12) можно вывести на основе закона сохранения энергии. Вращение маховика и поступательное движение груза Р происходит за счет потенциальной энергии. Если не учитывать потери энергии вследствие трения в подшипниках осей маховика и блока, то можно считать, что потенциальная энергия груза полностью переходит в кинетическую энергию вращения маховика

(13)

где w  - угловая скорость вращения маховика, а скорость поступательного движения груза (линейная скорость точек на поверхности шкива).

Решим уравнение (13) относительно J:

(14)

Так как для равноускоренного движения выполняется или , после подстановки в (14) получим окончательно (12)

(12a)

Момент инерции маятника Обербека можно записать с хорошим приближением в виде:

(14a)

если .

С другой стороны, момент инерции маятника можно рассчитать по формуле

(15)

где J0 - момент инерции крестовины маятника без грузов,

m0 - масса четырех цилиндрических грузов, надетых на крестовину,

L - расстояние от оси прибора до центра цилиндров.

ЗАДАНИЕ И ОТЧЕТНОСТЬ

  1. Закрепите цилиндры у основания крестовины. Измерьте расстояние L1 от оси до центра цилиндров с точностью .
  2. Определите массу гири с точностью .
  3. Измерьте радиус шкива с точностью .
  4. Подвесьте гирю на нити и вращением маятника намотайте нить на шкив так, чтобы расстояние от пола было . Измерьте высоту h с точностью .
  5. Отпустите маятник; включив секундомер, определите промежуток времени t, в течение которого гиря опускается до пола. Повторите 3 раза и найдите среднее время и средние ошибки t.
  6. Рассчитайте момент инерции J1 по формуле (14a).
  7. Закрепите цилиндры маятника на концах крестовины, измерьте L2 и среднее время, согласно п.5.
  8. Рассчитайте момент инерции J2 по формуле (14a).
  9. Результаты занесите в соответствующие колонки таблицы 1.

    Таблица 1 Определение момента инерции и момента силы

      I II
    L    
    P    
    R    
    h    
    t1    
    t2    
    t3    
    tср    
    М    
    J    
    e    

  10. Снимите цилиндры маятника с крестовины и измерьте, согласно п. 5, момент инерции одной крестовины J0. Результаты занесите в таблицу 2.

    Таблица 2 Определение момента инерции крестовины

    L  
    P  
    R  
    h  
    t1  
    t2  
    t3  
    tср  
    J0  

  11. Оцените погрешности D J1, D J2,, D J3. Согласно формуле (14), относительные и абсолютные погрешности оцениваются соответственно так:

  12. Найдите по данным измерениям D J1, D J2, D J3.
  13. Запишите окончательный результат в виде
  14. Рассчитайте моменты J1 и J2 по формуле (15) и сравните с экспериментальными значениями.
  15. При разных L рассчитайте по данным измерений угловые ускорения e согласно (8) и вращающие моменты M согласно (11), проверьте соотношение (6).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

  1. Какая физическая величина называется моментом инерции материальной точки, тела?
  2. Что называется моментом силы, плечом силы?
  3. Сформулируйте основной закон вращательного движения. Сравните с поступательным движением.
  4. С какой силой движущийся вместе с нитью груз действует на нить?
  5. Как определяется в работе момент силы? Как его можно измерить?
  6. Как определяются линейное ускорение груза и угловое ускорение маховика?
  7. Примените закон сохранения энергии к условиям данной работы (для определения момента инерции).

РАСЧЕТЫ И ВЫВОДЫ